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Algèbre et applications 2 expose les théories de base sur les algèbres non associatives, les opérades et les algèbres de Hopf (combinatoires) et le rôle grandissant qu’elles jouent dans de nombreux domaines.
Il analyse également une grande variété de structures algébriques, telles que les structures non associatives dans les intégrales itérées, le calcul chronologique, les équations différentielles, les méthodes numériques, la théorie du contrôle, les fonctions symétriques non commutatives, les groupes de Butcher, les algèbres chronologiques, les développements de Magnus et les algèbres de Rota-Baxter.
Cette étude présente à la fois les bases théoriques, accessibles aux étudiants de master et aux jeunes chercheurs, ainsi que des résultats récents, des applications, les tendances actuelles et des perspectives de recherche.
(FR) 1. Contexte algébrique pour les méthodes numériques, la théorie du contrôle et la renormalisation
2. Des intégrales itérées et du calcul chronologique aux algèbres de Hopf et de Rota-Baxter
3. Fonctions symétriques non commutatives, séries de Lie et algèbres de descentes
4. Des méthodes de Runge-Kutta aux algèbres de Hopf d’arbres enracinés
5. Algèbre combinatoire dans la contrôlabilité et le contrôle optimal
6. L’algèbre est géométrie est algèbre : interactions
entre les algèbres de Hopf, la géométrie de dimension infinie et application
Abdenacer Makhlouf
Abdenacer Makhlouf est professeur et directeur du département de mathématiques de l’Université de Haute Alsace. Ses recherches portent principalement sur l’étude de la structure, la théorie des représentations, la théorie des déformations et la cohomologie de structures algébriques.
Chapitre 1
Contexte algébrique pour les méthodes numériques, la théorie du contrôle et la renormalisation (pages : 3-58)
Ce chapitre est consacré à la présentation des propriétés générales et exemples concernant des structures algébriques en lien avec les méthodes numériques, la théorie de contrôle et la renormalisation. Il s’agit des algèbres de Hopf, notamment les algèbres de Hopf connexes filtrées et les algèbres pré-Lie, ainsi que certaines autres algèbres non-associatives (NAP, Novikov, dendriforme, post-Lie).
Chapitre 2
Des intégrales itérées et du calcul chronologique aux algèbres de Hopf et de Rota-Baxter (pages : 59-127)
Ce chapitre présente une étude algébrique des intégrales itérées généralisées et du calcul chronologique. Elle est basée sur les algèbres de Rota-Baxter (non-commutatives), dont les propriétés et les applications sont décrites, aussi sur les structures d’algèbre de Lie et de Hopf connexe. Il s’agit en particulier des algèbres de descente, les algèbres pré-Lie, les algèbres post-Lie et leurs algèbres enveloppantes.
Chapitre 4
Des méthodes de Runge-Kutta aux algèbres de Hopf d’arbres enracinés (pages : 193-235)
Ce chapitre présente une théorie algébrique des méthodes d’intégration numérique de Runge-Kutta. Elle est basée sur les conditions d’ordre, les arbres enracinés, le groupe de Butcher et les B-séries. L’algèbre de Lie du groupe de Butcher, la structure d’algèbre pré-Lie et l’algèbre de Hopf des arbres enracinés s’avèrent très utiles en analyse des méthodes numériques pour les équations différentielles ordinaires.
Chapitre 3
Fonctions symétriques non commutatives, séries de Lie et algèbres de (pages : 129-191)
Ce chapitre présente une étude des fonctions symétriques commutative et non commutatives, ainsi que les structures d’algèbres de Hopf correspondantes. L’algèbre de Hopf de fonctions symétriques non commutatives s’identifie à la somme directe des algèbres de descentes de tous les groupes symétriques. Les développement classiques (Magnus, Baker-Campbell-Hausdorff, Fer-Zassenhaus) sont interprétés en termes d’idempotents de Lie des algèbres de descentes.
Chapitre 5
Algèbre combinatoire dans la contrôlabilité et le contrôle optimal (pages : 237-305)
Ce chapitre présente les concepts fondamentaux de la théorie du contrôle des systèmes dynamiques qui sont intrinsèquement liés à des structures combinatoires et algébriques. Il montre comment les algèbres de Lie, les algèbres de Hopf combinatoires et les algèbres de Zinbiel jouent un rôle unificateur et permettent de mieux comprendre les concepts, ainsi que de faciliter l’analyse et les calculs.
Chapitre 6
L’algèbre est géométrie est algèbre : interactions entre les algèbres de Hopf, la géométrie de dimension infinie et application (pages : 307-330)
Ce chapitre décrit d’abord la correspondance entre les arbres enracinés, les opérateurs différentiels et le groupe de Butcher, lié au B-série de l’analyse numérique. Il s’agit ensuite de comprendre la géométrie des groupes des caractères des algèbres de Hopf graduées et connexes et de considérer des sous-groupes satisfaisant certaines restrictions de croissance (groupes des caractères maitrisés et contrôlés).
