Mathématiques du numérique 2

Ce chapitre est consacré à la représentation numérique de l'information, il traite essentiellement des nombres, et notamment des systèmes de numération décimale, binaire, octale et hexadécimale. Puis sera abordée la représentation des nombres en machine, y compris les nombres négatifs et les nombres rationnels.

Ce chapitre aborde la représentation numérique des caractères de texte avec les différents codages usuels, puis le principe du codage des images, la numérisation du son et de la vidéo. Le chapitre se termine par la présentation des codes d'étiquetage, notamment le code barre et le QR-code.

Le chapitre débute avec la notion de signal, avec ses caractéristiques et ses variétés. Puis, il aborde l'étude de la structure d'un signal, particulièrement avec l'analyse de Fourier pour un signal périodique. Il se termine par la description de deux outils mathématiques fondamentaux dans l'analyse et le traitement des signaux : la distribution de Dirac et l'opération de convolution.

Dans ce chapitre, sont définis trois outils mathématiques très utiles pour l'analyse des signaux : la transformation en z, la transformation de Fourier et la transformation de Laplace. Certaines démonstrations de théorèmes, admises comme relativement complexes, y sont présentées. Toutefois, lorsque les démonstrations sont plus accessibles, elles sont proposées au lecteur.

Pour des raisons de transport, de traitement (par l'ordinateur) et de stockage, les signaux analogiques sont transformés en signaux numériques par l'opération de numérisation. Cette opération comporte plusieurs phases qui seront, chacune d'elles, décrites : échantillonnage, quantification et codage.

La modulation est une façon pertinente de transporter des signaux. On utilise une porteuse d'équation très simple (sinusoïde en général) dont on fait varier les paramètres pour représenter un signal à transporter. Ce chapitre passe en revue les trois types de modulation standards : modulation d’amplitude, modulation de fréquence, modulation de phase.

Le filtrage est une opération très courante dans le traitement des signaux pour isoler ou éliminer des composantes fréquentielles, ou simplement pour "nettoyer" un signal. On examinera, en premier lieu, le cas du filtrage des signaux analogiques, puis celui des signaux numériques. Tout au long de ce chapitre, on utilisera les transformations en z, de Fourier et de Laplace, définies dans un chapitre précédent.

De nombreuses définitions et de nombreux concepts sont spécifiques à l'image numérique. Après avoir exposé la différence entre une image matricielle et une image vectorielle, nous présentons des notions de colorimétrie indispensables dans la suite. Enfin, nous donnons quelques exemples de codages d'image, un aperçu de la compression d'image et une liste des principaux formats utilisés par les systèmes informatiques.

L'infographie 2D concerne les tracés de figures planes sur un espace constitué de pixels, notamment les tracés élémentaires : segment de droite et arc de cercle. Les sections suivantes traitent du fenêtrage et du coloriage des surfaces. Nous montrons ensuite qu'avec les coordonnées homogènes, on peut représenter matriciellement les transformations géométriques usuelles, ce qui facilite le traitement par ordinateur. Nous terminerons par la présentation des courbes paramétriques (Hermite, Bézier, B-splines).

Ce chapitre expose les concepts et méthodes élémentaires de traitement et d'analyse d'image : d'abord les méthodes d'affichage d'image, puis les outils de base de l'analyse d'image (histogramme, profils, recherche de niveaux, notion d'entropie). Une section est consacrée aux outils de base du traitement d'image : transformation d'histogramme par table de conversion, soustraction et moyenne d'images, filtrage d’images. Le chapitre se termine par les opérations usuelles sur les images binaires.

La première section décrit les diverses formes de redondance et présente le cadre général du processus de compression. La section suivante décrit la compression sans perte d'information, avec les principales méthodes : codage à longueur variable, codage en plans de bits, codage prédictif. La troisième section concerne la compression avec perte par codage prédictif ou par codage par transformation, notamment JPEG.

Dans ce chapitre, quelques méthodes de résolution numérique sont passées en revue, en commençant par la résolution d’un système linéaire. Une deuxième section concerne la résolution numérique d’une équation f(x) = 0. La troisième section porte sur l’intégration numérique, pour laquelle diverses méthodes sont exposées. La quatrième section est consacrée aux équations différentielles. La dernière section est dédiée aux équations aux dérivées partielles.