Systèmes dynamiques, résonances et petits diviseurs 1

En 1889, le mémoire de Poincaré sur la stabilité du système solaire révolutionne la mécanique céleste en posant les bases de la théorie des systèmes dynamiques et du chaos. Ce programme connaît une avancée décisive lorsque, en 1954, Kolmogorov montre comment une petite perturbation d’un système intégrable engendre des entrelacs d’orbites ordonnées et chaotiques, observables à toutes les échelles. Ce résultat, à l’origine de la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), met en lumière le rôle central des résonances et des « petits diviseurs ».

Systèmes dynamiques, résonances et petits diviseurs 1 introduit les outils mathématiques fondamentaux nécessaires à la compréhension de ce cadre théorique : la théorie de Floquet, la stabilité de Poincaré- Lyapunov, les phénomènes homoclines, ainsi que les théorèmes de linéarisation hyperbolique et elliptique (Grobman-Hartman, Sternberg et Siegel). Le théorème de Siegel, abordé sous l’angle des petits diviseurs, y est présenté comme un prélude à la théorie KAM.