Mathématiques du numérique 1

La logique est essentielle non seulement pour le fonctionnement des ordinateurs, mais aussi pour l'intelligence artificielle. Les notions de logique, exposées dans ce chapitre, revêtent donc une importance fondamentale. Il débutera par le raisonnement par syllogisme, puis traitera le calcul propositionnel, ses opérations de base ainsi que leurs combinaisons. La dernière partie est dédiée aux outils du raisonnement déductif.

Les bases de la théorie des ensembles sont supposées connues du lecteur. Cependant, il a été jugé bon de faire quelques rappels, ne serait-ce que pour préciser le vocabulaire. Après ces rappels relatifs aux ensembles et à leur algèbre, le chapitre abordera les relations binaires qui jouent effectivement un rôle majeur dans l'univers des 0 et des 1.

La capacité à identifier et compter les appariements d'objets relève du domaine de l'analyse combinatoire. Seront donc examinés, de manière successive, le dénombrement des permutations, des arrangements et des combinaisons. Dans ce dernier cas, l’occasion sera donnée pour détailler les propriétés des coefficients binomiaux. Le chapitre se termine par la formule de Stirling permettant d’obtenir le résultat d’une exponentiation de grands nombres.

La construction des ordinateurs repose sur des circuits logiques qui seront exposés lors du prochain chapitre. En amont de celui-ci, il convient de rappeler les mathématiques relatives aux fonctions booléennes. Le chapitre abordera donc la notion des ensembles ordonnés et de leurs éléments particuliers, ce qui mènera à l'étude des treillis et des algèbres de Boole. Ensuite, seront exposées en détail les fonctions booléennes.

Ce chapitre reprend l'étude des fonctions booléennes et le problème de leur simplification avec la méthode des tableaux de Karnaugh. Les fonctions logiques de l'ordinateur reposent sur des assemblages de circuits logiques représentés matériellement par des circuits électroniques. Nous ferons donc un aparté sur l'électronique des ordinateurs, puis nous préciserons le principe de la construction des fonctions logiques en prenant l'exemple d'un additionneur binaire.

Ce chapitre expose les notions arithmétiques de base, en se restreignant aux nombres entiers. On commencera par la division euclidienne, ce qui conduit aux nombres premiers. Seront aussi abordées les congruences, définies par une opération spéciale appelée modulo. Nous donnerons un exemple de leur utilisation avec les courbes elliptiques. Nous terminerons par l'identité, le théorème et l'algorithme de Bézout.

Il est essentiel d'avoir des moyens de détecter et de corriger les erreurs de manière automatique. Après avoir abordé des généralités sur la détection et la correction d'erreurs dans des suites binaires, sont définis les codes linéaires, où les bits de l'information codée s'expriment linéairement en fonction des bits d'information utile et des bits de contrôle. Parmi ceux-ci, le principe des codes polynômiaux est explicité dans une section spéciale.

Ce chapitre expose les principales méthodes de chiffrement (d’encryptage) des données. Après un rappel des méthodes standards de substitution et de transposition, nous détaillerons deux dispositifs actuels : le système DES à clé secrète et le système RSA à clé publique (où nous retrouverons l'utilisation des nombres premiers). La méthode des courbes elliptiques sera également présentée. Le chapitre se terminera sur les espoirs de l’encryptage quantique.

L'objet de ce chapitre est de rappeler les bases essentielles des probabilités, d'abord de manière pratique, puis sous un formalisme plus mathématique. Les deux sources de calcul des probabilités, à savoir le dénombrement et la statistique, seront abordées. Toutes ces notions seront ensuite appliquées à l'évolution de processus représentés par des graphes de transitions entre états. En particulier, les propriétés des chaînes de Markov seront exposées.

L'objet de ce chapitre est de passer en revue les notions de base de la statistique : tableaux, représentations graphiques, paramètres de position et de dispersion. Ensuite, une modélisation élémentaire, telle que l'ajustement linéaire, est présentée en détail, de même que la notion de corrélation. Cette modélisation est ensuite appliquée aux séries chronologiques.

Ce chapitre traite plusieurs types de modélisations d'occurrences d'événements, connues sous le nom de lois de probabilité. Après une description générale d’une loi de probabilité, les lois usuelles sont présentées : la loi uniforme, la loi binomiale, la loi de Poisson, la loi exponentielle et la loi normale. Le chapitre se poursuit sur la simulation de phénomènes réels basée sur des tirages aléatoires, comme en particulier les files d’attente.